RELASI - MATEMATIKA DISKRIT

Apabila teman-teman menginginkan File ini, silahkan koment dan tinggalkan e-mail. karena blog ini diseting untuk tidak bisa di Copy-Paste, terimakasih.

RELASI  

Jika di kehidupan nyata, ada yang namanya suatu hubungan (relasi) antara individu dan individu didalam suatu kelompok. Ataupun hubungan unsur lain terhadap unsur/ hal lain, misal, hubungan antar tetangga, hubungan mahasiswa dengan  mata kuliah ataupun hubungan dosen dengan pelajaran yang diampunya, dan lain-lain.

      Di materi Relasi ini, saya akan membahas tentang hubungan/ relasi, hubungan antara dua unsur/himpunan yang tidak kosong dengan satu aturan hubungan/perkaitan tertentu, Penjelasan yang saya akan jelaskan meliputi definisi dan fungsi, operasi dan sifatnya. 

Definisi

Kita misalkan E & F sebagai himpunan, hubungan antara himpunan E & himpunan F merupakan himpunan yang memiliki pasangan atau huruf/ angka yang berurutan,  tetapi  mengikuti aturan tertentu. Dengan demikian hubungan  biner R antar himpunan E dan F, merupakan himpunan  dari E × F / R ⊆(E × F).

Example:

Misal E  = {2, 4, 6} dan F = {2, 4, 6, 8 }. Jika didefinisikan relasi R dari E ke F  menggunakan aturan seperti, (e,fb) ∈ R jika faktor dari f, dan Seperti yang kalian pelajari sebelumnya atau yang sudah kalian ketahui,

 E × F menjadi :

E × F = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (4, 8), (6, 2), (6, 4), (6, 6), (6, 8)}

Jika menggunakan aturan relasi/ hubungan diatas, relasi R dari E  ke F  yang mengikuti aturan tadi menjadi,

R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8)}

Hubungan/Relasi bisa juga  terjadi hanya pada satu atau sebuah himpunan, yaitu hubungan  pada E,  di himpunan E, yang merupakan himpunan E × E

Example: 

Misal R a/ relasi pada E = {2, 3, 4, 8, 9} yang diumpamakan :

(x, y) ∈ R dan bila x habis dapat dibagi oleh y.

Relasi R pada E  yang menggikuti aturan tersebut a/ seperti dibawah ini.

R = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (8, 8), (8, 2), (8, 4), (3, 3), (9, 9), (9, 3)}

Example about Relation/ contoh relasi : 

E :NAMA, SUBYEK/ Domain

F :OBYEK/ Kodomain

R :Relasi atau hubungan antar makanan favorit

                        Sifat-Sifat Relasi 

Relasi atau hubungan pada himpunan punya suatu sifat, sifat-sifat yang ada seperti..

1. Refleksif (reflexive)

Suatu relasi R pada himpunan E disebut refleksif jika (e, e) ∈ R untuk setiap e ∈ E. Dan bisa disebut juga hubungan relasi R pada himpunan E diketahui tidak refleksif jika e ∈ E dan begitu pula jika (a, a) ∉ R.

Example: 

Misalkan E = {1, 2, 3, 4}, 

dan sifat Relasi R adalah  ‘≤’ yang dimisalkan himpunan E, jadi

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), 

(4, 4)}

Kelihatan bukan jika  (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) adalah bagian unsur dari R. Jika begitu R dinyatakan himpunan Refleksif

Example : 

Misalkan E = {2, 3, 4, 8, 9, 15}.

Jika kita misalkan relasi R yang ada di himpunan A memiliki aturan:

(e, f) ∈ R jika e faktor prima dari f

Perlu diteliti/ diketahuin jika(4, 4) ∉ R .

Jadi, jelas bahwa R tidak  dan bukan bersifat refleksif.

Sifat refleksif memiliki ciri khas dalam pembuktian suatu relasi, seperti:

• Relasi yang memiliki sifat refleksif memiliki matriks dengan unsur utamanya semua bernilai 1, atau m_ii = 1, untuk i = 1, 2, …, n,

• Relasi yang memiliki sifat refleksif jika dibuktikan dalam bentuk graf terarah jadi  di graf tersebut akan ditemukan sebuah  loop pada setiap simpulnya.

2. Simetri (symmetric) dan Anti Simetri (antisymmetric)

Suatu relasi R di himpunan E memiliki sifat simetri jika 

(e, f) ∈ R, jika setiap e, f ∈ E , jadi (e, f) ∈ R.

Suatu relasi R pada himpunan E dikatakan tidak simetri jika (e,f) ∈ R sementara itu (e, f) ∉ R.

Pada suatu relasi R dihimpunan E mempunyai anti simetri dan misalkan untuk setiap

 a, b ∈ A, (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R diakui jika a = b.

    Perhatikan bila istilah/ definisi simetri dan anti simetri bukanlah berlawanan, karena suatu relasi  bisa punya kedua sifat itu sekaligus. tapi , suatu relasi tak bisa mempunyai  kedua sifat itu jika dia punya atau memiliki pasangan berurutan atau terurut dengan bentuk

 (a, b) yang mana a ≠ b.

example: 

Misal R adalah sebuah relasi di himpunan Riil, yang dinyatakan oleh :

e R f  bila  & hanya jika e – f ∈ Y.

Memeriksa atau menyatakan relasi R memiliki sifat simetri !

Misal e R f  jadi/ maka (e – f) ∈ Y, Sementara  (f – e) ∈ Z.

Dan bila menyatakan seperti ini R memiliki sifat simetri.

Example : 

Buktikan bila relasi  ‘≤’ adalah himpunan Z.  Yang bersifat anti simetri

Jadi jika e ≤ f dan f ≤ e berarti e = f.

Hasilnya adalah  ‘≤’ menjadi/ memiliki sifat anti simetri.

3. Transitif (transitive)

Sebuah atau suatu relasi atau hubungan  R pada himpunan E mempunyai sifat transitif bila

(a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R, untuk a, b, c ∈ A.

example :

Misal E  = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, & relasi  dapat diartikan bila :

e R f  jikalau & hanya bila e membagi f, dimana e, f ∈ E

Dan bila kita perhatikan definisi relasi R yang terdapat pada himpunan E, jadi :

R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8)}

Dan Bila (2, 4) ∈ R & (4, 8 ) ∈ R terbukti bila  (2, 8 ) ∈ R.

Dan relasi  R memiliki sifat transitif.

Example : 

R adalah relasi yang ada pada himpunan bilangan Riil N yang diketahui atau didefinisikan seperti:

R : E + f = 5, e, f ∈ E,

Dengan mengikuti relasi R pada himpunan E, jadi:

R = {(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2) }

Buktikan bila  (1, 4) ∈ R & (4, 1) ∈ R , terapi (1, 1) ∉ R.

Jika seperti ini relasi R bukan atau tidak memiliki sifat transitif.

Sifat transitif memiliki beberapa ciri didalam pembuktian satu relasi , misalkan, sifat transitif di graf yang terarah dinyatakan seperti:

Bila  ada  satu/ sebuah busur dari e ke f dan busur dari f  ke g, jadi  juga memiliki sebuah busur

Berarah/ diarahkan dari e ke g.

Dan saat/ bila  menyajikan suatu relasi transitif didalam bentuk matriks, sebuah relasi transitif tidak memiliki satu ciri khusus di matriksnya.

RELASI

1. Pengertian Relasi

Antara elemen-elemen dari dua buah himpunan seringkali terdapat suatu relasi atau hubungan tertentu.

Misalnya :

         A = { 2, 3, 5 }                           

         B = { 1, 4, 7, 10, 14 }

Akan kita tinjau relasi “ adalah faktor dari “ antara elemen-elemen himpunan A dengan elemen-elemen himpunan B. Tampaklah bahwa :

         2 adalah faktor dari 4

         2 adalah faktor dari 10

         2 adalah faktor dari 14

         5 adalah faktor dari 10

Sedangkan 3ΠA tidak berrelasi dengan suatu elemenpun dari himpunan B.

Relasi itu dikatakan sebagai suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B. Perhatikan bahwa suatu relasi mempunyai arah tertentu. Relasi tersebut juga dapat dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut. Elemen dari himpunan A yang berelasi dengan elemen dari himpunan B di susun menjadi suatu pasangan terurut, diman elemen dari A pada urutan pertama dan elemen dari B pada urutan yang kedua. Jadi kalau relasi “ adalah faktor dari “ tersebut diberi nama R, maka :

R = { (2, 4), (2, 10), (2, 14), (5, 10) }

Dalam diagram panah

Jelaslah bahwa R c A x B

Secara umum dapat dikatakan bahwa suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B merupakan himpunan bagian dari  AXB (produk Cartesius A dan B). sehingga dapat didefinisikan:
R adalah suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B. R c A x B

A disebut daerah asal (domain) dan B disebut daerah kawan (kodomain) dari relasi R tersebut. 

2. Relasi-relasi Khusus

Jika  A = B maka relasinya disebut sebagai relasi pada himpunan A.

a) Suatu relasi R pada himpunan A disebut  relasi refleksif bhb setiap elemen   dari A berrelasi R dengan dirinya sendiri.

Contoh :

 A adalah suatu keluarga himpunan. R adalah relasi ”himpunan bagian”  yaitu:        R ={ (x,y) | xÎA, yÎA, x c y }

 R adalah  relasi  refleksif  pada A  karena  untuk  setiap  xÎA berlakulah bahwa      x c x, yaitu (xÎA). (x,x) ÎR

Suatu relasi R pada himpunan  A disebut relasi non- refleksifbhb. ada elemen dari A yang tidak berrelasi R dengan dirinya sendiri.

Suatu relasi R pada himpunan  A disebut relasi irrefleksif bhb. setiap elemen dari A tidak berelasi R dengan dirinya sendiri.

      Perhatikan  bahwa  suatu  relasi  yang  irrefleksif  dengan  sendirinya   adalah non-refleksif, tetapi sebaliknya belum tentu.

      Contoh :

               A = himpunan semua bilangan nyata.

         Relasi “ > “ adalah suatu relasi yang irrefleksif (jadi juga non- refleksif ) pada A karena  setiap bilangan nyata tidak lebih besar  dari pada dirinya sendiri.

               A = himpunan semua manusia

      Relasi “ dapat menguasai” adalah relasi yang non – refleksif  pada A ( karena ada orang yang      tidak dapat menguasai dirinya sendiri), tetapi bukan relasi yang irrefleksif ( karena tidak semua orang tidak dapat menguasai dirinya sendiri)

b) Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi simetris bhb. Untuk setiap dua elemen x dan y dalam A, jika x berrelasi R dengan y, maka y berrelasi R dengan x.

     R simetris pada A bhb.

Contoh :

A = himpunan semua garis lurus pada bidang datar.

Relasi “ sejajar” adalah relasi yang simetris pada A, karena untuk setiap dua garis lurus x dan y, di mana  x//y, maka pastilah y//x
Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi non-simetris bhb. Ada sepasang elemen x dan yÎA dimana x berrelasi R dengan y tetapi y tidak berrelasi R dengan x
Suatu relasi R pada himpunan  A disebut relasi asimetris bhb. Untuk setiap pasangan elemen x dan yÎA di

   mana x berrelasi R dengan y, maka y tidak berrelasi R dengan x

Jelas bahwa suatu relasi yang asimetris pada himpunan A pasti juga non-simetris pada A, tetapi sebaliknya    belum tentu.

Contoh:

A = Keluarga himpunan.

Relasi “ himpunan bagian sejati” adalah suatu relasi yang asimetris pada A (jadi juga non-simetris ) karena untuk setiap dua himpunan x dan yÎA dimana x c y, maka pastilah bahwa y C x

A = himpunan semua manusia.

Relasi “mencintai” adalah relasi yang non simetris pada A, tetapi bukan relasi yang asimetris pada A.

Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi anti-simetris bhb. Untuk setiap pasang elemen x dan y Î A, jika x berrelasi R dengan y dan y berrelasi R dengan x, maka x = y.

R antisimetris pada A bhb.

Contoh:

A = keluarga himpunan.

Relasi “ himpunan bagian” adalah relasi yang antisimetris pada A, karena untuk setiap dua himpunan x dan y, jika x c y dan y c x, maka x = y.

c). Suatu relasi R pada himpunan A disebut transitif bhb. Untuk setiap tiga elemen x,y dan z Î A, jika x     berrelasi R dengan y dan y berrelasi R dengan z , maka x berrelasi R dengan z. R transitif  pada A bhb.

Contoh:

A = himpunan semua bilangan nyata.

Relasi “adalah faktor dari” adalah relasi yang transitif  pada A.

Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi non-transitif bhb. Ada tiga elemen x,y dan z ÎA dimana x berrelasi R dengan y dan y berrelasi z, tetapi x tidak berrelasi R dengan z.

d) Suatu relasi R pada himpunan A yang sekaligus bersifat refleksif,simetris dan transitif disebut relasi ekuivalensi pada A.

     Contoh:

     A = himpunan semua segitiga.

     Relasi “sebangun” adalah  relasi ekuvalensi pada A sebab relasi tersebut sekaligus bersifat refleksif, simetris dan transitif pada A

     A = himpunan semua bilangan bulat.